2016. április 27.
2500 éve ismerjük a prímszámokat, amelyek még ma is sok újdonságot tartogatnak a matematikusok számára. Nemrég új szenzáció is napvilágot látott: prímszámrekord született.
„Az interneten végzett tevékenységeink biztonsága nagyrészt olyan algoritmusokon és titkosítási eljárásokon múlik, amelyek a prímszámokkal kapcsolatos ismereteinken alapulnak” – hangsúlyozta Sándor Csaba, a BME Természettudományi Kar Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék egyetemi docense. „Két és félezer éve tudunk e különleges számok létezéséről, ám tudásunk időről időre új ismeretekkel bővül. Az elmúlt húsz évben számos alapvető eredmény született a prímszámokkal kapcsolatban. Ezen túl ma már a számítógépek segítségével olyan nagy prímszámokat is ismerünk, amelyek korábban elképzelhetetlenek voltak.”
|
Prímszámoknak nevezzük azokat az olyan egynél nagyobb természetes számokat, amelyek csupán 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A 0 és az 1 nem prímszám, az előbbinek végtelen, míg utóbbinak csak egy osztója van. A 2 a legkisebb és egyben az egyetlen páros prímszám. A prímszámokat gyakran nevezik az egész számok „építőköveinek”, ugyanis minden egész szám felírható prímszámok szorzataként is. A prímszámokat az ókori görögök fedezték fel, elsőként Euklidész írt róluk az „Elemek” című könyvében. A amerikai Közép-Missouri Egyetem kutatói Curtis Cooper vezetésével találták meg a jelenleg ismert legnagyobb prímszámot, mely több mint 22 millió számjegyből áll. A most felfedezett rekord egy ún. „Mersenne-szám”, egy speciális prím, amelyhez egyet adva egy kettőhatványt kapunk, azaz, egy olyan számot, ami kettesek szorzataként írható fel. Az új rekord a 49. Mersenne-prímszám. Szinte napra pontosan 2 évvel ezelőtt ugyancsak ezen intézmény kutatócsoportja hozta nyilvánosságra az előző rekordot, amely több mint 17 millió számjegyből áll. Az ezt megelőző rekord 13 millió számjegyes volt és 2008-ban fedezték fel. A 2016-os rekordprím tömörített file-ként az alábbi linken tölthető le. |
A weboldalak titkosítására több, szintén prímszámokon alapuló eljárást dolgoztak ki, az egyik legnépszerűbb az ún. RSA-eljárás, amely kifejlesztőiről (Ron Rivest, Adi Shamir és Len Adleman – szerk.) kapta a nevét. Az algoritmus néhány másodperc alatt két, egyenként 500 számjegyű prímszámot hoz létre, és e két szám szorzatával titkosítják a weboldalakat. „A szorzatot szinte lehetetlen visszafejteni tényezőire, így az adott oldalon végzett tevékenységet teljes diszkréció övezi” – szemléltette a prímszámok gyakorlati alkalmazásának legnépszerűbb területét Sándor Csaba. E módszert alkalmazzák például a bankok internetes oldalainál. „A titkosítást a felhasználók számára a böngésző sorában megjelenített kis lakat jelzi” – tette hozzá a BME számelmélettel foglalkozó kutatója.
„A prímszámok mindig is foglalkoztatták a matematikusokat, közülük is a számelmélet iránt érdeklődőket, ám igazi áttörést a 19. században, majd a számítógépek elterjedésével értek el” – ismertette Sándor Csaba. A mostani rekordot egy még a 19. század második felében felfedezett módszer alapján találták meg. Ennek az algoritmusnak a hatékony megvalósítására jött létre a Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), magyarul Nagy Internet Mersenne Prím Kereső projekt, egy világszerte elterjedt, kifejezetten nagy prímszámok megtalálására alapított közösség, amely egy több ezernyi számítógépből álló hálózaton fut, és percenként nagyjából 150 billió számítást képest elvégezni. „Bárki kapcsolódhat a saját számítógépével a programhoz, így bárkiből válhat prímszámkutató. Az önkéntesek a saját, szabad számítógépes kapacitásaikat ajánlják fel, és a központi gépről letöltik a számítás előtt álló adatcsomagokat, amelyeket feldolgozás után visszaküldenek” – ismertette a műegyetemi oktató az időnként pénzjutalommal is kitüntetett, egyre népszerűbbé váló nemzetközi együttműködésről. A mostani felfedező, Curtis Cooper és kutatócsoportja által talált rekordért 3000 dollár járt. A következő határ az első, százmilliónál is több számjegyből álló Mersenne-szám, amelynek felfedezéséért 150 ezer dolláros jutalmat kaphat a megtaláló.
„A prímszámrekordok felfedezése ma már sokkal inkább informatikai, mint matematikai feladat. Az emberi agy képtelen e számítások elvégzésére, gépek hajtják végre ezt a műveletet” – jegyezte meg Sándor Csaba, aki szerint ma nagy számítógép-kapacitás és némi szerencse is szükséges egy-egy újabb rekordhoz. „A programhoz csatlakozók adott számokról vizsgálják, hogy a prímszámok közé tartoznak-e, és ha szerencséjük van, pont egy ilyen példát fognak ki. A meghatározáshoz szükséges algoritmus akár hónapig is futhat a számítógépen, ráadásul a rekord bejelentését hosszú hónapig tartó további ellenőrző számítás előzi meg.” A BME oktatója úgy tartja, hogy a mostani felfedezés csupán a „véletlen műve”. „Már tavaly szeptemberben megtalálták a keresett számot, ám a szoftver elmulasztotta értesíteni az érintett kutatócsoportot, így csak később, egy rutinkarbantartás idején fedezték fel az eredményt.” Sándor Csaba szerint egyrészt az informatika fejlődését is mutatja, hogy néhány évente újabb rekord születik, másrészt a kutatókat örömmel töltheti el, hogy az új felfedezések időről időre ráirányítják a figyelmet a matematikai kutatásokra.
„A matematikusokat számos ismeretlen felfedezésével kecsegteti a prímszámok tudománya” – hívta fel a figyelmet Sándor Csaba, hozzátéve, hogy már az ókori görögök kikövetkeztették az ún. „indirekt okoskodás” módszerével, hogy végtelen számú prímszám létezik. A számelmélettel foglalkozó tudósok ma is kutatják, hogy a szabálytalan sorozatnak tűnő prímszámok illeszkednek-e valamilyen szabályhoz. Ezzel az állítással függ össze a több mint 150 éve bizonyítatlan Riemann-sejtés, amely részben azt mondja ki, hogy a prímszámok előfordulásában hosszú távon szabályszerűség érvényesül, így megbecsülhető az n-edik prímszám nagysága. E feltevés megerősítését tartják ma a 7 legfontosabb és legnagyobb horderejű, ám megoldatlan matematikai kérdés egyikének. „A 2000-ben összeállított 7 felvetésből eddig csupán 1-et sikerült megválaszolni. Minden nyitott kérdés megoldásáért 1 millió dollárt ajánlottak fel a felfedezőnek” – fejtette ki Sándor Csaba.
Magyarország matematikusai nemzetközi szinten is kiemelkedő eredményekkel büszkélkedhetnek. Kiemelte például Pintz János ikerszám-sejtését, amely kimondja, hogy a korábban bizonyított átlagnál kisebb „hézagok” is vannak a prímszámok között. „Eddig azt sikerült bizonyítani, hogy a szomszédos prímszámok közötti távolság végtelen sokszor legfeljebb 264” – fejtette ki a 20 évvel ezelőtt még elképzelhetetlennek tűnő előrelépésről a BME matematikusa.
„A prímszámok területe jelenleg is aktívan foglalkoztatja a világ vezető matematikusait. Közkedvelt téma, amellyel könnyen és érthetően mutathatjuk be e tudomány sokszínűségét, és a matematikusokat foglalkoztató kérdéseket” – hangsúlyozta a téma pedagógiai szempontjait Sándor Csaba. „A hazai matematikus nemzedékek utánpótlása nagyon fontos feladat, el kell eljuttatni a fiatalokhoz az üzenetet, hogy e szakma sok lehetőséget rejt magában és rengeteg gyakorlati alkalmazási területe van” – erősítette meg a BME oktatója, akinek meggyőződése, hogy a matematikai szakemberek előtt sok lehetőség áll mind Magyarországon, mind a nemzetközi színtéren. „Az alkalmazott matematika gyakorlóit tárt karokkal várja elsősorban a pénzügyi szféra: könnyen találnak állást a nagy elemzővállalatoknál vagy a pénzintézeteknél. Az elméleti kutatóknak pedig az egyetem és az akadémiai világ ad jó terepet. Mindkét műfajban érdekes és értékteremtő feladatokra számíthatnak a fiatalok.”
Sándor Csaba számos tehetséggel dolgozik együtt a Műegyetemen is, ami bizonyítja, hogy a BME-t „sok jó képességű fiatal választja továbbtanulása színhelyéül”.
TZS - TJ
Fotó: Takács Ildikó