Fraktálokat, azaz önmagukhoz hasonló tulajdonságokkal rendelkező halmazokat vizsgál a TTK Bolyai-ösztöndíjas matematikusa, aki a kar Nyílt Napján tartott előadást középiskolásoknak.

„A matematika egy jól szemléltethető, jól ábrázolható és közvetve a hétköznapi életben is hasznosítható területével foglalkozom elméleti matematikai kutatásaimban” – fogalmazta meg Bárány Balázs matematikus, a BME Természettudományi Kar Matematika Intézet Sztochasztika Tanszékének adjunktusa, a MTA-BME Sztochasztika Kutatócsoport tagja. A fiatal tudós a következő három évben a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai János Kutatási Ösztöndíjából folytatja korábban elkezdett munkáját (pályázatának címe: Önaffin és nem-konformális halmazok dimenzióelmélete – szerk.).

Bárány Balázs fraktálokkal, ezekkel a nagyon komplex geometriai alakzatokkal foglalkozik. „A fraktáloknak nincs precíz matematikai definíciójuk” – hívta fel a figyelmet a kitüntetett matematikus, hozzátéve, hogy széles szakmai körben elfogadják e jelenségek sajátos tulajdonságát, miszerint egyre jobban kinagyítva az alakzat kicsi részleteit, e részek természete mindig az egész halmaz (az eredeti alakzat) természetéhez hasonló. Azaz, a fraktálok ún. önhasonló tulajdonságokkal rendelkeznek. A természetben számos ilyen jelenség fellelhető: fraktálnak tekinthető például a tenger partvidékének vonala, a felhő kerülete, a hegységek körvonala, a fémek vagy egy karfiol felülete. Fraktálok jelennek meg például bizonyos kristályok növekedésekor vagy a villámcsapásokra emlékeztető kisülésekben is. Fraktáljelenségek fedezhetők fel továbbá a közgazdaságtanban (a tőzsdei folyamatok modellezésében), és a művészetben is (a 20. század végén a művészek egy része már tudatosan készített fraktálokat a műveiben).

A fraktálok sok ismeretlen felfedezésével, többek között a gyakorlati alkalmazások lehetőségeinek bővülésével kecsegtetik a matematikusokat. Fraktális szerkezetű hullámcsapdákkal védhetők például a hullámtörők és a partvédő művek. Az elektronikában fraktális struktúrákkal növelhető a kondenzátorok, az akkumulátorok, a szűrők és a hőcserélők felülete, és fraktál antennákat alkalmaznak például a mobiltelefonok jeltovábbításához is.

Bárány Balázs a fraktálok egy szűkebb csoportját, az önaffin halmazokat (a kinagyított részlet az eredeti alakzat affin képe, azaz, egy lineáris transzformáció és egy eltolás segítségével egymásba képezhetőek– szerk.) is kutatja, és e halmazok dimenzióit is vizsgálja: az egydimenziós egyenesen és a kétdimenziós síkon túl a fraktáloknak létezik egy ún. „tört” dimenziója (általában Hausdorff dimenzió vagy pakolási dimenzió), ami nem egész szám. E dimenzió arra a kérdésre ad választ, hogy az adott halmaz mennyire „tudja, akarja” kitölteni a rendelkezésére álló teret. Minél bonyolultabb, recésebb, más néven „bolyongó” egy fraktálalakzat felülete, annál jobban ki akarja tölteni a teret, így nagyobb a fraktál dimenzióértéke is. A TTK fiatal kutatója e dimenziók tulajdonságait szeretné jobban megérteni kutatásaiban.

„Az önaffin halmazokat közel három évtizede kutatják, ám csak az utóbbi néhány évben kezdtek olyan módszereket, algoritmusokat alkalmazni, amelyekkel e halmazok tulajdonságai, dimenziói új aspektusokból vizsgálhatók. E miatt is az utóbbi években a természettudomány legtöbb ágában nagy figyelmet szenteltek e jelenségek vizsgálatára. A fraktálgeometria egy nagyon intenzíven kutatott tudományág” – ecsetelte a téma aktualitásáról Bárány Balázs.

A fraktálokkal kapcsolatos megállapításokat a gyakorlatban is hasznosítják: „a fraktáloknál kialakított módszerekkel vizsgálják az emberi agy felszínét az agydaganatok felderítéséhez” – emelt ki egy példát a díjazott kutató. Egy másik példaként a filmkészítést említette: „számítógépes szimulációkban véletlen fraktálok mesterséges generálásával szép és élethű tájképeket hoznak létre. E módszer pontosabb és egyszerűbb a kézi rajzolásnál”.

Bárány Balázs a számításaihoz az ún. Ledrappier-Young formulát (Francois Ledrappier és Lai-Sai Young 1985-ben felfedezett összefüggése, amelyben a diffeomorfizmusok fizikai mértékét vizsgálták. A diffeomorfizmus a matematikában egy olyan invertálható függvény, amely egyik differenciálható sokaságot a másikra képezi úgy, hogy maga és inverze is differenciálható – szerk.) használja, amelyet eredetileg dinamikai rendszerek (egy rendszer szabályok szerint leírt állapotának időbeli megváltozása – szerk.) dimenziószámításaihoz alkalmaztak. A díjazott műegyetemi matematikus kísérletet tesz arra, hogy e formulát módosított változatát önaffin halmazokra alkalmazza. Tudományos munkáját nemzetközi együttműködésben végzi: finn, lengyel, angol és argentin szakemberekkel közös cikke a közelmúltban jelent meg („Ledrappier-Young formula az önaffin halmazok egy speciális családjára” - Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society), jelenleg 2 publikációjuk elbírálását várják, és további 2 írás elkészítésén munkálkodnak.

Bárány Balázs első alkalommal nyerte el az MTA Bolyai-ösztöndíját. Megtisztelőnek tartja, hogy kutatási témáját támogatásra érdemesnek találták e kitüntetésre. „Fantasztikus és ígéretes kutatási tervekkel pályáznak erre az ösztöndíjra. Nagyon meglepődtem és meghatódtam, hogy engem is méltónak találtak” – vallotta a fiatal matematikus, aki már hallgatóként eldöntötte, hogy e szakterülettel szeretne foglalkozni a diploma megszerzése után. Példaképként tekint mentorára, Simon Károlyra, a Természettudományi Kar Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék tanszékvezető egyetemi tanárára, aki támogatta eddigi kutatásaiban, és akitől nagyon sokat tanult. „Szerencsés vagyok, amiért már fiatalon széleskörű nemzetközi kapcsolatokra tehettem szert, és nagyszerű szakemberekkel dolgozhatok együtt szerte a világból” – ecsetelte Bárány Balázs, aki nemrégiben tért haza másfél éves angliai tanulmányútjáról, és jövő februárban 7 hónapra Jeruzsálembe utazik. Ám, ahogy fogalmazott, „mindig hű marad alma materéhez”. „Szeretek kutatni és tanítani, és a Műegyetemen képzelem el a jövőmet elméleti kutatóként” – fejtette ki a díjazott. Bolyai-ösztöndíjasként a tudományos munkára fog összpontosítani, és nemzetközi kutatótársaival együttműködve legalább 5 elbírált folyóiratcikket szeretne publikálni a következő 3 évben.

TZS - TJ

Fotó: Takács Ildikó