Aritmetikai kombinatorikai elméleti matematikai kutatásokkal foglalkozik a BME legújabb kutatócsoportja, amely az MTA Lendület Programján nyert támogatást.

„Gyerekkorom óta motivál, hogy nehéz, eddig megválaszolatlan matematikai kérdésekkel foglalkozhatok. Ezek az elméleti vizsgálódások nem feltétlenül kecsegtetnek azonnali, kézzelfogható eredményekkel, ám kiinduló pontjai lehetnek különböző tudományterületek alkalmazott kutatásaihoz. Most egy olyan új kombinatorikus módszert tanulmányozok, amely hosszú távon a számítástudomány vagy az információelmélet terén is hasznosulhat” – vezetett be ötéves kutatási tervébe Pach Péter Pál, a BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar (VIK) Számítástudományi és Információelméleti Tanszék docense, aki a Magyar Tudományos Akadémia (MTA) Lendület Programjának egyik legújabb műegyetemi nyertes szakembereként alapította meg az MTA-BME Lendület Aritmetikai Kombinatorika Kutatócsoportot. Tudományos munkájában az aritmetikai struktúra is fontos szerephez jut, kutatási módszerei részben lineáris algebrai, részben gráfelméleti eszközökön alapulnak.

Pach Péter Pál a közelmúltban amerikai és izraeli kutatótársaival közösen publikálta legfontosabb tudományos eredményét az ún. polinom-módszer új változatáról a legrangosabb matematikai folyóiratban, az Annals of Mathematics lapban. (A matematikában a polinom egy olyan több tagú algebrai kifejezés, amelyben a számok és a változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai, ill. ezek összegei szerepelnek – szerk.). A Pach Péter Pál részvételével kidolgozott módszer lineáris algebrai észrevételekre épül. Ezzel az újszerű technikával oldották meg például az Erdős-Szemerédi napraforgósejtést, továbbá kapcsolódik a mátrixszorzás gyorsítását célzó módszerek hatékonyságának vizsgálatához is. „Utóbbi eredmények hatással lehetnek a mindennapi életünkre: gyorsabbá válhat az internetes keresés sebessége, és egyes folyamatok modellezése” – magyarázta a kutatás jelentőségét a műegyetemi szakember.

Pach Péter Pál úgy döntött, hogy az akadémiai lehetőséggel élve továbbviszi a kombinatorika és a számelmélet határterületén folytatott munkáját: a mostani Lendület kutatócsoportban a polinom-módszer egy új változata korlátainak megértésére, a metódus továbbfejlesztésére, alkalmazhatóságának kiterjesztésére és újabb lineáris algebrai ötletek megtalálására törekszik. Tervei szerint az elkövetkezendő 5 évben egyebek mellett extremális kérdésekkel foglalkozik tiltott aritmetikai konfigurációkkal, áttekinti az extremális halmazok szerkezetét, elemzi a kombinatorikában használható rangfogalmak alkalmazási területeit, emellett a problémák véletlen változatát is vizsgálja. Mindeközben a pozitív egész számok halmazára vonatkozó Ramsey-típusú színezési problémákat vesz górcső alá, itt olyan nyitott kérdésekre koncentrál, ahol az aritmetikai regularitási lemma és az ergodelmélet eddig nem vezetett el a teljes válaszhoz.

„Elméleti szakemberként nehezebb dolgunk van egy több évre szóló kutatási terv összeállításánál. A vizsgálni kívánt problémák egy része a kombinatorikusok érdeklődésének középpontjában áll, más kutatócsoportok, köztük világhírű matematikusok is dolgoznak rajtuk. Elképzelhető, hogy mások számottevő eredményt érnek majd el a kérdések egy részében, de az szintén lehetséges, hogy senki, így mi sem jutunk el bizonyos problémák teljes megoldásáig. Ebben is rejlik az elméleti matematika szépsége és nehézsége, tudósként ebben látom a kihívást” – vallja Pach Péter Pál.

Az ELTE-n diplomát szerzett díjazott kutató a Műegyetem Villamosmérnöki és Informatikai Karán találta meg számításait, itt kapott lehetőséget az őt foglalkoztató matematikai problémák feltárására, ahogy fogalmazott „egy emberileg és szakmailag kiváló társaságba került, ahol a kollégák együttes gondolkodása a siker kulcsa”. Büszke arra, hogy magyar kutatóként és erős műegyetemi szakmai közösségben érte el eredményeit. Ígéretes elgondolásait korábban az MTA Bolyai János Kutatási Ösztöndíjjal ismerte el (Pach Péter Pállal az ösztöndíj elnyerésekor készített interjút a bme.hu – szerk.).

„A Lendület programban való részvétel megtiszteltetés és fontos mérföldkő az életemben, magas presztízsű felkérés számomra, az eddigi munkám elismerése, emellett stabil alapot is jelent az előttem álló évek kutatásaihoz. Az elkövetkezendő időszakban a fő célom a módszer alkalmazhatóságának további kiterjesztése, és más területekkel (pl. információelmélet) való kapcsolatának vizsgálata” – jelentette ki Pach Péter Pál, aki e munka kedvéért mondott le az ugyancsak elnyert MTA Prémium posztdoktori ösztöndíjáról.

TZS-GI
Fotó: Philip János